大学松村「可換環論」・ 2026-09-22

定理14.7の証明の行間埋め

松村「復刊可換環論」定理14.7の証明中で, 個人的にギャップがあると感じた部分を補足して解説します.

主張

記号の導入をします. ネーター環\(A\)と\(A\)加群\(M\)に対して\(\Ass M\)の極小元を\(\Min M\)とし,

\[\Assh M=\{\mathfrak{p}\in \Min M\mid \dim(A/\mathfrak{p})=\dim M\}\]

と定めます. 定理6.5より\(\Min M\)は\(\Supp M\)の極小元の集合と一致しています. また, 再び定理6.5より\(M\)が有限\(A\)加群であれば\(\Assh M\)は有限集合であることも分かります. 以上を踏まえて, 松村英之「復刊可換環論」の定理14.7の主張を見てみましょう.

主張の証明

\(\sigma=0\)の場合

\(\sigma=\sum_i l(M_{\mathfrak{p}_i})\)に関する帰納法で示します. 各\(i\)に対して\(l(M_{\mathfrak{p}_i})\)が0になるので右辺は0になります. 左辺について考えます. \(l(M_{\mathfrak{p}_i})=0\)であることから各\(i\)について\(\mathfrak{p}_i\not\in \Supp M\)です. ここで\(\mathfrak{p}\in \Spec M\)であって\(\dim(A/\mathfrak{p})=d\)となるようなものが存在すれば, それは\(\mathfrak{p}\in \Assh A\)となるので矛盾します. よって

\[\dim M=\sup\{\dim(A/\mathfrak{p})\mid \mathfrak{p}\in \Supp M\}\]

について, \(\dim M\neq d\)です. よって左辺は\(e(\mathfrak{q},M)=0\)であることが分かります.

\(\sigma>0\)の場合

ある\(\mathfrak{p}\in \Assh A\)に対して\(M_{\mathfrak{p}}\neq 0\)となるから\(\mathfrak{p}\)は\(\Supp M\)の極小元となり, \(\mathfrak{p}\in \Ass M\)です. よって単射\(A/\mathfrak{p}\to M\)が存在します. この余核を\(C\)とすることで, \(A\)加群の完全列

\[0\to A/\mathfrak{p}\to M\to C\to 0\]

が得られるので, 定理14.6により

\[e(\mathfrak{q},M)=e(\mathfrak{q},A/\mathfrak{p})+e(\mathfrak{q},C)\]

が成り立ちます. ここでこの完全列の\(\mathfrak{p}_i\)による局所化を考えます. すると

\(\mathfrak{p}_i=\mathfrak{p}\)のとき, \((A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{p}_i}\cong A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}\)で, \(l_{A_{\mathfrak{p}}}(A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}})=1\).
\(\mathfrak{p}_i\neq \mathfrak{p}\)のとき, \((A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{p}_i}=0\).

となります. 特に後者について, \(x\in \mathfrak{p}\setminus \mathfrak{p}_i\)を取れば\(A/\mathfrak{p}\otimes_A A_{\mathfrak{p}_i}\)の任意の元は

\[\overline{a}\otimes \frac{b}{s}=\overline{a}\otimes \frac{xb}{xs}=\overline{ax}\otimes \frac{b}{sx}\]

とでき, \(ax\in \mathfrak{p}\)よりこれは0になることから従います. よって\(A_{\mathfrak{p}_i}\)加群の完全列

\[0\to (A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{p}_i}\to M_{\mathfrak{p}_i}\to C_{\mathfrak{p}_i}\to 0\]

について, それぞれの長さを考えれば

\[\sum_{i=1}^t l(C_{\mathfrak{p}_i})=\sum_{i=1}^t l(M_{\mathfrak{p}_i})-l((A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{p}_i})=\sigma-1\]

となるので\(C\)に対して帰納法の仮定を適用することができます. \(e(\mathfrak{q},A/\mathfrak{p})=e(\overline{\mathfrak{q}},A/\mathfrak{p})\)と合わせて

\[e(\mathfrak{q},M)=e(\overline{\mathfrak{q}},A/\mathfrak{p})+ \sum_{i=1}^t e(\overline{\mathfrak{q}}_i,A/\mathfrak{p}_i)l(C_{\mathfrak{p}_i})\]

で, \(l(C_{\mathfrak{p}_i})=l(M_{\mathfrak{p}_i})-l((A/\mathfrak{p})_{\mathfrak{p}_i})\)を用いれば, \(e(\mathfrak{q},A/\mathfrak{p})\)がキャンセルされて

\[e(\mathfrak{q},M)=\sum_{i=1}^t e(\overline{\mathfrak{q}}_i,A/\mathfrak{p}_i)l(M_{\mathfrak{p}_i})\]

を得るので, 主張が示されました.